五数上基础课程：钉子板上的多边形

教学目标：

1、经历画图、填表、分析数据、探索规律的过程，发现皮克公式。  

2、初步感悟通过固定某些变量的值来探求其余变量的变化规律的科学思维方法。  

3、获取由简单到复杂的探究问题的方法和经验。  

4、能类比迁移探求问题的方法，尝试拓展研究同类新问题。 

教学重点：

发现、得出多边形的面积与边上钉子数和多边形中间钉子数之间的规律。

教学难点：

类比推导出一般规律。

教学过程：

一、复习导入

1、今天我们要来学习钉子板上的多边形，如果告诉你每相邻两个钉子之间的距离是1cm，你知道它们的面积吗？你是怎么想的？再来一个，感觉怎么样？

2、师：那这样的图形有没有简单的方法来算一算呢？大胆猜想一下，钉子板上的图形面积会和什么有关？那会和图形哪里的钉子有关呢？

3、为了便于研究，我们把图形边上的钉子数叫做边点数，把图形内部的钉子数叫做内点数。你准备怎么研究边点数、内点数和图形面积之间的关系？（举例子，观察比较）

二、探索研究

（一）确定研究方案

1、交流：好的，就以刚才的三个图形为例，我们来看一看1号图形的边点数、内点数，面积各是多少？谁来说一说？2号呢？3号呢？

2、观察：边点数、内点数、面积有什么关系？你觉得问题出在哪里？有什么困难？

3、确定研究方案：按照他的建议，怎么办？（让边点数不变，内点数依次增加，观察比较面积有什么变化规律；或者内点数不变，边点数依次增加，观察比较面积有什么变化。）

（二）探究一：内点数为0，边点数依次增加

1、好就听你们的，你觉得边点数最少是几？（3）为什么不是1或者2？（最少三个边点才能围成图形）内点最少是几（0）围成的三角形面积是多少？（0.5cm²），你能接着往下画一画，填一填吗？（完成探究一，2号组长记录，1号组长拍照发布在班级圈，抢答成功的小组投屏交流）

2、交流：边点数是3，内点数是0的图形，面积是0.5cm²......

3、观察比较：你发现了什么？（边点数每增加1个，面积就增加0.5cm²）

4、计算：那10个边点的图形面积怎么计算？你们是这样算的吗？你是怎么想的？

从3个边点到10个边点，增加了几个边点？ 也就是增加了.......,那一共算了几个0.5？所以这个4可以怎么算？

如果有100个边点，内点为0，面积会有多少个0.5？

5、追问并验证：为什么不直接边点数乘0.5，为什么要减掉2个0.5?是不是这样呢，我们一起来结合图形验证一下。（电脑演示）

边点数是3，内点数是0，面积是0.5cm²

边点数增加1，内点数是0，面积增加0.5m²

边点数再增加1，内点数是0，面积再增加0.5cm²

6、总结：内点数为0时，钉子板上的多边形面积可以怎么求？板书：（边点数－2）×0.5

（三）探究二：边点数是6，内点数为依次增加

1、刚才我们让内点数不变，接下来可以让边点数不变来研究。吴老师自作主张，选择了边点数都是6，内点分别0、1的多边形，你能接着往下举例，先画一画再研究吗？

不管你举几个例子，只要画出来，最后算出边点6，内点9的图形面积。

（完成探究二，拍照发布在班级圈，2号组长记录，1号组长拍照，抢答成功的小组投屏交流）

2、交流：边点数是6，内点数是1的多边形面积是......，你会用新方法算一算它的面积吗？

3观察比较：你有什么发现？（内点数每增加1，面积就增加1cm²）

也就是说1个内点就会产生面积几？几个内点就会产生面积几。

当边点数一定时，每增加一个内点，面积就会增加1。那边点6内点1的面积可以怎么求？边点6内点2的图形呢？......边点6，内点9的图形面积怎么求？如果有100个内点，面积就要在2的基础上增加多少？

4、验证：这是巧合还是真的是这样，咱们也来结合图形验证一下。（电脑演示）

边点数是6，内点数增加1，面积增加1cm²

边点数是6，内点数增加2，面积增加2cm²

边点数是6，内点数增加3，面积增加3cm²

5、总结：现在，你知道边点数、内点数和面积之间的关系了吗？（边点数－2乘0.5＋内点数就是多边形的面积）补充板书：多边形的面积         ＋内点数

如果用n表示边点数，用a表示内点数，怎么表示面积s？（板书S＝0.5（n－2）＋a）

6、验证：这个公式对不对呢？咱们可以来验证一下。这三个图形咱们已经知道他们的面积了，现在，用我们刚研究出来的公式来算一算，看看这个公式对不对。（板贴：验证）

三、巩固练习

1、看来钉子板上的多边形面积可以用公式S＝0.5（n－2）＋a来求，那现在，这个图形的面积你会求了吗？打开爱学板，完成练习1

2、你会算了嘛？那这几个呢？完成练习2

3、你会自己画一个多边形并算一算它的面积吗？完成练习3，拍照发布在任务5的小组圈，1号组长带领组员投屏交流。

小组分享：我画了一个边点几，内点几的多边形，面积是几平方厘米

  全班交流：小组推荐画得比较好的发布在班级圈。

四、总结

1、我们今天研究的规律，就是数学上著名的皮克定理，打开任务6，自学一下。 有什么疑问吗？ （说明：正方形格点，就是钉子；公式有点不一样，咱们可以转化一下）

2、回顾刚才的探索和发现规律的过程，你有什么收获和体会？